Bayesian allocation using the skew normal distribution

One of the greatest limits of the theory of Markowitz consists in the assumption that all investors preferences can only be represented by the mean and the variance of returns. This assumption is coherent with the utility maximization in only in two cases: either securities returns are assumed to be elliptically distributed or the investorsâ utility function is quadratic. In addition the resulting optimal portfolios suffer lack of diversification and robustness. Black and Litterman, (BL), [1990] and [1992], propose a model in which the diversification and robustness is achieved by a Bayesian process which, in addition, is able to involve investors' " views" . The main aim of the Simaanâ s approach [1993], is instead to include higher moments in the portfolio construction. The main worth of his model relies in the new shape of the distribution modelling returns. Our approach (adapted from Simaan) to portfolio optimization is based on the assumption of skew normality of the assets. The Skew Normal distribution of Azzalini and Dalla Valle [1996] appears a better choice in the assets modelling with respect to the normal one. We obtain stochastic dominance rules for skew normal prospects. Those rules are used in the construction of the portfolio problem. Being the resulting quadratic problem explicitly solvable (with short sales) , we are able to obtain the analytic expression of the efficient frontier and to generalize the problem to a market of investors. This results in an extension of the CAPM of Sharpe and Lintner. Secondly we obtain an extension of the BL model in the SN assumption for the assets. Using the good Bayesian properties of the SN distribution (Liseo and Loperfido [2006]) it is possible to deduce the analytic expression of the predictive posterior distribution. This distribution results SN and its parameters are strongly modified by the â viewsâ of the investor. Finally the predictive posterior is used in the construction of the skew normal portfolio problem conditioned by the " views" . At the end of the thesis is presented an example of portfolio optimization in presence of SN assets. The market which appears more suitable for our approach is surely the Hedge Funds market.

La teoria del portafoglio di Markowitz da luogo a portafogli ottimali che presentano due ben noti svantaggi: la mancanza di diversificazione e l'estrema sensibilità agli input del problema. Inoltre la sua compatibilità con la teoria della massimizzazione dell'utilità è vincolata all'assunzione di ellitticità dei rendimenti o a quella di quadraticita dell' utilità. Black e Litterman, (BL), [1990] e [1992], propongono un modello Bayesiano in grado di garantire portafogli diversificati e robusti. Il loro approccio consente inoltre di immettere nel processo di costruzione del portafoglio " previsioni" sull' andamento futuro degli assets. Con l' intento di includere momenti superiori al secondo Simaan, [1993], propone un approccio parametrico all' ottimizzazione del portafoglio assumendo una particolare distribuzione asimmetrica per i rendimenti. Il nostro approccio (adattato da quello di Simaan) alla ricerca di portafogli efficienti si basa sull' assunzione di skew-normality degli assets. La distribuzione Skew Normal (SN), (Azzalini e Dalla Valle [1996]) appare molto più efficace nella modellizzazione dei rendimenti degli assets rispetto alla distribuzione normale perché in grado di catturare la skewness (molto presente in particolari mercati quale quello degli Hedge Funds). Ricaviamo regole di dominanza stocastica (SD) per prospetti SN che permettono di ottenere successivamente il problema di ottimizzazione di portafogli composti di assets skew normal. Questo problema ammette soluzioni esplicite (in presenza di vendite allo scoperto), ciò permette di ottenere l' espressione esplicita dela frontiera eficiente e garantisce inoltre la possibilità di generalizzare il contesto dal singolo investitore ad un mercato di investitori. Il risultato di questa generalizzazione consiste in un'equazione che estende il CAPM di Sharpe Litner, la cui principale modifica risiede nella presenza di un parametro di skewness del mercato. Successivamente affrontiamo l' estensione del modello di BL all' assunzione di SN. Sfruttando le ottime proprietà Bayesiane della distribuzione SN (Liseo e Loperfido [2006]) otteniamo la forma analitica della distribuzione predictive posterior. Il risultato mostra come quest' ultima risulti anch' essa SN, ma i cui parametri sono modificati dalle " previsioni" fatte sui rendimenti dall' investitore. La distribuzione predictive posterior viene infine utilizzata per la costruzione del problema di portafoglio skew normal condizionato dalle previsioni . In ultimo luogo presentiamo un esempio di costruzione di portafoglio ottimale tramite assunzione di SN nel mercato degli Hedge Funds.