A Kinetic model of interface motion

After a brief introduction on scale limits and processes of phase segregation, we present a model of interface motion between two different fluids, described by a pair of kinetic equations. They provide the late stages dynamics expected by the Cahn-Hilliard equation. Phase segregation is a first order phase transition which happens in mixtures when the temperature is lowered below the coexistence curve. Domains rich in different components begin to arise with several mechanisms. Domains are separated by layers, which become sharp in the last stages of the process and then they are called interfaces. The main tool used is Hilbert expansion, the small parameter being the ratio between kinetic and macroscopic unit of length. The problem can be faced to in several ways. We show how to compute the limiting dynamics and the first order corrections to it. It turns out that the late stages of phase segregation are characterized by a geometrical rearrangement of the interfaces which tends to minimize the surface, while keeping fixed the volume of the domains. The normal velocity in each point of the interface is given by gradients of harmonic functions, whose value on the boundary depends on the curvature and on the surface tension. The limiting motion is thus given in terms of a free boundary problem. On the other hand the corrections to that motion are solution of a yet non linear problem, but with boundaries fixed. Our model has only a kind of conserved quantity: the total mass of each component. So it can be interpreted to describe the behaviour of highly viscous fluids, where energy and momentum yielding fluidodynamic effects are dissipated on much smaller time scales than those we are interested in. An example of such mixtures is given by polymer blends.

Dopo una breve introduzione sui limiti di scala e i processi di segregazione di fase, presentiamo un modello per il moto di interfaccia tra due fluidi differenti, descritti da una coppia di equazioni cinetiche. Le loro soluzioni forniscono la dinamica degli stati finali attesa in base all’equazione di Cahn-Hilliard. La segregazione di fase è una transizione di fase del primo ordine che avviene nelle miscele quando la temperatura è abbassata al di sotto della curva di coesistenza. Domini ricchi in componenti diverse cominciano ad emergere tramite vari meccanismi. I domini sono separati da strati che divengono sempre più sottili nelle fasi finali del processo; a tal punto si dicono interfacce. Lo strumento principale usato è l’espansione di Hilbert, in cui il parametro piccolo è il rapporto tra le unità di misura cinetica e macroscopica. Il problema può essere affrontato in vari modi. Noi mostriamo come calcolare la dinamica limite e le correzioni del primo ordine ad essa. Si trova che gli stadi finali della segregazione di fase sono caratterizzati da un riarrangiamento geometrico delle interfacce che tende a minimizzare la superficie mentre il volume dei domini resta costante. In ogni punto dell’interfaccia la velocità nella direzione ortogonale è data da gradienti di funzioni armoniche, il cui valore sul bordo dipende dalla curvatura e dalla tensione superficiale. Il moto limite è quindi dato in termini di un problema di frontiera libera. D’altra parte le correzioni a tale moto sono ancora soluzioni di un problema non lineare, ma con bordi fissati. Il nostro modello ha soltanto un tipo di quantità conservata: la massa totale di ciascuna componente. Così può essere pensato descrivere il comportamento di fluidi altamente viscosi, dove l’energia e l’impulso che produrrebbero effetti fluidodinamici sono dissipati su scale di tempo molto più brevi di quelle cui siamo interessati. Un esempio di tali sistemi è dato dalle miscele di polimeri.