Queueing models for air traffic

In questa tesi studiamo dei modelli di coda che sono utili per capire la congestione del traffico aereo. Dal punto di vista della teoria delle code classica e' difficile studiare il sistema del traffico aereo, soprattutto perche' e' complesso definire le quantita' di base della teoria. Il sistema diventa complesso, poiche' ci sono molti fattori che influiscano sul traffico aereo, ad esempio le condizioni meteo, problemi tecnici, le turbolenze dell'aria causate da diversi tipi di aeromobili. Quindi per capire il traffico aereo diventa necessario studiare la distribuzione degli arrivi degli aeroplani. In letteratura l'ipotesi comune e' di assumere che gli arrivi degli aeroplani sono descritti molto bene dal processo di Poisson. Questa assunzione e' adatto per i modelli matematici, per la proprieta' di assenza di memoria del processo di Poisson che semplifica lo studio della congestione in tale sistema. Il primo obiettivo di questa tesi e' di studiare le proprieta' di un processo degli arrivi degli aeromobili al sistema e di confrontare tale processo con il processo di Poisson. In questo lavoro mostriamo come l'ipotesi Poissoniana per il traffico aereo e' destinato a fallire anche se il processo Poissoniano e' molto simile al nostro modello degli arrivi se viene osservato su una scala di tempo opportunamente corta. Troviamo poi, nella trattazione del nostro processo, una connessione interessante del nostro modello con la meccanica statistica di Fermioni. Una volta comprese le proprieta' del processo degli arrivi al sistema, per studiare la sua evoluzione usiamo la teoria Markoviana. Il secondo obiettivo di questa tesi e' lo studio delle proprieta' stocastiche di altri sistemi di coda, sempre rilevanti nelle applicazioni, in cui gli arrivi sono generali ma indipendenti, e discipline di servizio particolari rendono non banale lo studio della distribuzione stazionaria della catena. Questo corrisponde a studiare la misura stazionaria di certe catene di Markov. Per trovare la distribuzione stazionaria usiamo il metodo della funzione generatrice. Una parte di questa tesi e' la discussione dei criteri, di solito presentati in letteratura, per valutare l'ottimalita' dei vari schemi di approssimazione.

In this thesis we study some queueing models that are worthwhile to understand the air-traffic congestion. From the point of view of classical queueing theory the air traffic system is difficult to study, mainly because it is hard even to define the basic quantities of the theory. The system becomes complex, since there are a many factor, that influence the air-traffic like weather conditions, technical problems, air turbulences caused by the different types of aircrafts. Thus is necessary to investigate the impact of the arrivals of aircraft on air traffic. A common hypothesis in literature is to assume that the arrivals of aircrafts are very well modeled by a Poisson process. This assumption is suitable for mathematical modelling, due to the memoryless property of Poisson process that simplifies the study of congestion in such systems. Our first goal is to study the property of a model of the arrival process to a system and to compare its features to the Poisson process. We will show in this work why the Poissonian hypothesis for air-traffic is doomed to failure even if the Poisson process is very similar to our process if it is observed on a time scale sufficiently short. We found interesting connections of this model with the statistical mechanics of Fermi particles. Once one understands the properties of arrival process to the system, to study its evolution we use the theory of Markov chain. Our second goal is the study of the stochastic properties of other queueing systems, relevant in the applications, where the arrivals are described according general independent stochastic process and the service is delivered according to various disciplines. This corresponds to the study of the stationary measure of a Markov chain. In order to find the stationary distribution of such Markov chain we use the generating function technique. Part of this thesis is a discussion of the criteria usually presented in literature to evaluate the goodness of various approximation schemes. It will turn out, actually, that the generating function is not always possible to compute explicitly, and some numerical procedures are necessary in order to compute the relevant quantities of the system.