Uniqueness of optimal curves over F2 of small genus

An optimal curve over a finite field Fq is defined to be a projective, smooth, absolutely irreducible curve defined over Fq having the maximum number of Fq-rational points allowed for its genus. The first examples of optimal curves defined over F2 date back to the 80's and are due to J.-P.Serre: by applying techniques of class field theory, Serre constructed these curves as abelian coverings of the projective line or of an elliptic curve of given equation defined over F2. We prove that a genus g optimal curve over F2 is unique up to F2-isomorphism for g=1,...,5. In this sense the examples given by Serre are the only possible ones. On the other hand, up to F2-isomorphism there are exactly two examples of genus 6 optimal curves defined over F2. The approach to these results consists of two steps. First, on the basis of an idea of Serre, we compute that there is only a possibility (resp. there are exactly two possibilities) for the Zeta function of a genus g=1,..., 5 (resp. genus g=6) optimal curve defined over F2. Next, we apply recent techniques developed by E.Howe and K.Lauter to show how the computed Zeta functions encode information on the automorphisms of the associated optimal curves. This information, combined with class field theory methods, provides their uniqueness.

Una curva ottimale su Fq è definita come una curva proiettiva, liscia e assolutamente irriducibile definita sul campo finito Fq che ha il massimo numero di punti Fq-razionali consentito per il suo genere. I primi esempi di crve ottimali definite su F2 risalgono agli anni ottanta e sono dovuti a J.-P.Serre: applicando tecniche di teoria del corpo delle classi, Serre costruisce queste curve come ricoprimenti abeliani della retta proiettiva o di una curva ellittica di equazione data definita su F2. Dimostriamo in questa tesi che una curva ottimale di genere g definita su F2 è unica a meno di F2-morfismi per genere g=1,...,5. In questo senso gli esempi dati da Serre sono gli unici esempi di curve ottimali possibili. D'altra parte, a meno di F2-isomorfismi esistono esattamente due esempi di curve ottimali definiti su F2. L'approccio a questi risultati si divide in due fasi. Prima, sulla base di un'idea di Serre, mostriamo che esite un'unica possibilità (risp. esattamente due possibilità) per la funzione Zeta di una curva ottimale di genere g=1,..., 5 (risp. genere g=6) definita su F2. Successivamente, applichiamo recenti tecniche sviluppate da E.Howe e K.Lauter per mostrare che le funzioni Zeta calcolate contengono informazioni sugli automorfismi della curva ottimale associata. Queste informazioni, in combinazione con metodi di teoria del corpo delle classi, conducono all'unicità delle curve.