Discrete approximations of the Perona-Malik equation: convergence and classification of the equilibria

In the first part of the thesis we prove the convergence, up to a subsequence, of the spatial semidiscrete scheme for the one-dimensional Perona-Malik equation ut = (φ 0 (ux))x, φ(p) := 1/2 log(1 + p2), when the initial datum u is 1-Lipschitz out of a finite number of jump points, and we characterize the problem satisfied by the limit solution. In the most difficult case when u has a whole interval where φ00(ux) is negative, we construct a solution by a careful inspection of the behaviour of the approximating solutions in a space-time neighbourhood of the jump points. The limit solution u we obtain is the same as the one obtained by replacing φ(·) with the truncated function min(φ(·), 1), and it turns out that u solves a free boundary problem. The free boundary consists of the points dividing the region where |ux| > 1 from the region where |ux| ≤ 1. Finally, we consider the full space-time discretization (implicit in time) of the Perona-Malik equation, and we show that, if the time step is small with respect to the spatial grid h, then the limit is the same as the one obtained with the spatial semidiscrete scheme. On the other hand, if the time step is large with respect to h, then the limit solution equals u, i.e., the standing solution of the convexified problem. In the second part we give a complete classification of the stability properties of the equilibria for the semi-discrete one-dimensional Perona-Malik equation, with Dirichlet boundary conditions. We also give the Γ-expansion of the corresponding discretized functionals up to the order two, as the discretization parameter goes to zero.

Nella prima parte della tesi dimostriamo la convergenza, per sottosuccessioni, dello schema semi-discreto spaziale dell’equazione di Perona-Malik in dimensione uno ut = (φ0(ux))x, φ(p) := 1/2 log(1+p2), dove il dato iniziale u è 1-Lipschitz al di fuori di un numero finito di punti, e caratterizziamo il problema soddisfatto dalla soluzione limite. Nel caso più complesso, quando u ha un intero intervallo dove φ 00(ux) è negativo, costruiamo una soluzione dopo un’accurata indagine del comportamento delle soluzioni approssimanti in un intorno spazio-tempo dei punti di 1 salto. La soluzione limite u che otteniamo è la stessa di quella ottenuta sostituendo la funzione φ(·) con la funzione troncata min(φ(·), 1) e otteniamo che u risolve un problema a frontiera libera. La frontiera libera `e costituita da quei punti che si ottengono dividendo la regione dove |ux| > 1 da quella dove |ux| ≤ 1. Alla fine di questa prima parte del lavoro consideriamo l’intera discretizzazione spaziale e temporale (implicita nel tempo) dell’equazione di Perona-Malik e dimostriamo che se il passo temporale è più piccolo rispetto al passo della griglia spaziale h, allora il limite è lo stesso di quello ottenuto con lo schema semi-discreto spaziale. Se, invece, il passo temporale risulta più grande di h, allora la soluzione limite coincide con u, cioè la soluzione stazionaria del problema convessificato. Nella seconda parte diamo una completa classificazione delle proprietà di stabilità dei punti di equilibrio dello schema semi-discretto uno-dimensionale dell’equazione di Perona-Malik con condizioni al bordo di Dirichlet. Inoltre, ricaviamo la Γ-espansione di ordine due dei corrispondenti funzionali discretizzati quando il parametro h tende a zero.