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We introduce a cohomology, called extendable cohomology, for abstract complex singular varieties based on suitable differential forms. Aside a study of the general properties of such cohomology, we show that, given a complex vector bundle, one can compute its topological Chern classes using the extendable Chern classes, defined via a Chern-Weil type theory. We also prove that the localizations of the extendable Chern classes represent the localizations of the respective topological Chern classes, thus obtaining an abstract residue theorem for compact singular complex analytic varieties. As an application of our theory, we prove a Camacho-Sad type index theorem for holomorphic foliations of singular complex varieties.

In questa tesi introduciamo una coomologia per varietà analitiche complesse singolari (astratte). Tale coomologia, detta coomologia estendibile, viene definita a partire da opportune forme differenziali (forme differenziali estendibili) definite sulla varietà. Oltre allo studio delle proprietà generali della coomologia estendibile, mostriamo che, dato comunque un fibrato vettoriale complesso definito su una varietà, è possibile rappresentare le sue classi di Chern topologiche per mezzo delle classi di Chern estendibili (da noi definite utilizzando una teoria di tipo Chern-Weil) tramite un morfismo di integrazione da noi definito. Proviamo inoltre che le localizzazioni delle classi di Chern estendibili rapresentano le localizzazioni delle rispettive classi di Chern topologiche. Questo ci permette di ottenere un teorema dei residui astratto per varietà (analitiche complesse singolari) compatte. Come ulteriore applicazione della nostra teoria, dimostriamo un teorema dell'indice di tipo Camacho-Sad per foliazioni di varietà complesse singolari.

Perrone, C. (2008). Extendable cohomologies for complex analytic varieties.

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