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Ricciardi, M. (2020). Some advances in Mean Field Games theory.

Some advances in Mean Field Games theory

RICCIARDI, MICHELE
2020-01-01
2020
2019/2020
Mathematics
32.
La th´eorie des Jeux `a Champ Moyen (MFG) a ´et´e d´evelopp´e par J.-M. Lasry et P.-L. Lions en 2006. Cette th´eorie veut d´ecrire le comportement d’un syst`eme de N jouers, qui choisissent un contrˆole et agissent pour minimiser une fonction de coˆut. La dynamique de chaque joueur est mod´elis´e avec une ´equation diff´erentielle stochastique. Le syst`eme associ´e aux ´equilibres de Nash, sous certain hypoth`eses et quand N tend vers l’infini, converge `a la solution du syst`eme MFG. Il s’agit d’une ´equation de HamiltonJacobi, pour la fonction valeur du syst`eme, coupl´e avec une equation de Fokker-Planck pour la densit´e du processus de chaque joueur. Il y a une vaste litt´erature en ce qui concerne les Jeux `a Champ Moyen, et beaucoup d’aspects ont ´et´e ´etudi´es, comme par exemple existence, r´egularit´e et unicit´e des solutions, comportement en temps long etc., en utilisant soit des m´ethodes analytiques soit probabilistes. Cependant, la plupart de la litt´erature consid`ere seulement le cas que la dynamique des joueurs est confin´ee dans l’espace R d , ou, surtout dans la litt´erature analytique, dans le tore T d (solutions p´eriodiques). Plus, dans la plupart des cas les joueurs contrˆolent seulement le drift de l’´equation stochastique. Mais dans beaucoup d’applications c’est tr`es important travailler avec un processus qui reste dans un certain domaine d’existence. Cette condition peut ˆetre obtenue, par exemple, en prescrivant des conditions de Neumann sur le syst`eme MFG, lesquelles correspondent `a une reflexion dans l’´equation diff´erentielle stochastique du processus. Alternativement, on peut confiner la dynamique dans un domaine born´e en choisissant le contrˆole, ou en prenant les termes de drift et de diffusion, afin de satisfaire la restriction requise. Dans ce cas on parle des MFG avec condition d’invariance ou contraintes sur l’´etat. 3 Dans ma th´ese je serai focus´e sur les deux aspects. Dans le premier chapitre j’´etudierai le probl`eme MFG avec contraintes sur l’´etat, en obtenant existence, unicit´e et r´esultats de r´egularit´e. Dans le deuxi`eme chapitre j’´etudierai le probl`eme de convergence avec des conditions de Neumann sur la fronti`ere du domaine. Finalement, dans le troisi`eme chapitre je retournerai au syst`eme MFG, en ´etudiant un mod`ele avec un contrˆole sur la diffusion.
Settore MATH-03/A - Analisi matematica
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Tesi di dottorato
Ricciardi, M. (2020). Some advances in Mean Field Games theory.
07 - Tesi di dottorato
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