Crystalline flow of planar partitions and a geometric approach for systems of PDEs

The present thesis deals with two different subjects. Chapter 1 and Chapter 2 concern interfaces evolution problems in the plane. In Chapter 1 I consider the evolution of a polycrystalline material with three (or more) phases, in presence of for an even crystalline anisotropy ϕo whose one-sublevel set Fϕ := {ϕo ≤ 1} (the Frank diagram) is a regular polygon of n sides. The dual function ϕ : R2 → R defined by ϕ(ξ) := sup{ξ ·η : ϕo(η) ≤ 1} is crystalline too and Wϕ := {ϕ ≤ 1} is called the Wulff shape. I am particularly interested in the motion by crystalline curvature of special planar networks called elementary triods, namely a regular three-phase boundary given by the union of three Lipschitz curves, the interfaces, intersecting at a point called triple junction. Each interface is the union of a segment of finite length and a half-line, reproducing two consecutive sides of Wϕ. I analyze local and global existence and stability of the flow. I prove that there exists, locally in time, a unique stable regular flow starting from a stable regular initial datum. I show that if n, the number of sides of Wϕ, is a multiple of 6 then the flow is global and converge to a homothetic flow as t → +∞. The analysis of the long time behavior requires the study of the stability. Stability is the ingredient that ensures that no additional segments develop at the triple junction during the flow. In general, the flow may become unstable at a finite time: if this occurs and none of the segments desappears, it is possible to construct a regular flow at subsequent times by adding an infinitesimal segment (or even an arc with zero crystalline curvature) at the triple junction. I also show that a segment may desappear. In such a case, the Cahn-Hoffman vector field Nmin has a jump discontinuity and the triple junction translates along the remaining adjacent half-line at subsequent times. Each of these flows has the property that all crystalline curvatures remain bounded (even if a segment appears or disappears). I want to stress that Taylor already predicted the appearance of new edges from a triple junction. I also consider the crystalline curvature flow starting from a stable ϕ-regular partition formed by two adjacent elementary triods. I discuss some examples of collapsing situations that lead to changes of topology, such as for instance the collision of two triple junctions. These examples (as well as the local in time existence result) show one of the advantages of crystalline flows with respect, for instance, to the usual mean curvature flow: explicit computations can be performed to some extent, and in case of nonuniqueness, a comparison between the energies of different evolutions (difficult in the euclidean case) can be made. In Chapter 2 we introduce, using the theory of S1-valued functions of bounded variations, a class of energy functionals defined on partitions and we produce, through the first variation, a new model for the evolution of interfaces which partially extends the one in Chapter 1 and which consists of a free boundary problem defined on S1-valued functions of bounded variation. This model is related to the evolution of polycrystals where the Wulff shape is allowed to rotate. Assuming the local existence of the flow, we show convexity preserving and embeddedness preserving properties. The second subject of the thesis is considered in Chapter 3 where we aim to extend the level set method to systems of PDEs. The method we propose is consistent with the previous research pursued by Evans for the heat equation and by Giga and Sato for Hamilton-Jacobi equations. Our approach follows a geometric construction related to the notion of barriers introduced by De Giorgi. The main idea is to force a comparison principle between manifolds of different codimension and require each sub-level of a solution of the level set equation to be a barrier for the graph of a solution of the corresponding system. We apply the method for a class of systems of first order quasi-linear equations. We compute the level set equation associated with suitable first order systems of conservation laws, with the mean curvature flow of a manifold of arbitrary codimension and with systems of reaction-diffusion equations. Finally, we provide a level set equation associated with the parametric curvature flow of planar curves.

La presente tesi tratta due argomenti distinti. Il Capitolo 1 e il Capitolo 2 riguardano problemi di evoluzione di interfacce nel piano. Nel Capitolo 1 viene considerata l’evoluzione di un materiale policristallino con tre (o più) fasi, in presenza di un’anisotropia cristallina (pari) ϕo la cui linea di livello 1, Fϕ :={ϕo ≤1} (Frank diagram), è un poligono regolare di n lati. La funzione duale ϕ : R2 →R definita da ϕ(ξ) := sup{ξ·η : ϕo(η)≤1}´e anch’essa un’anisotropia cristallina e Wϕ := {ϕ ≤ 1} è detta Wulff shape. In particolare, viene studiato il moto per curvatura cristallina di triodi elementari, ossia speciali reti piane di curve che sono frontiere regolari di insiemi rappresentanti tre fasi distinte di un materiale. Un triodo elementare è formato dall’unione di tre curve Lipschitziane, le interfacce, che si intersecano in un unico punto detto giunzione tripla. Ogni interfaccia è l’unione di un segmento di lunghezza finita e di una semiretta che riproduce due lati consecutivi della Wulff shape Wϕ. Viene analizzata l’esitenza locale e globale e la stabilità del flusso. Si dimostra l’esistenza locale di un unico flusso regolare stabile a partire da un dato iniziale regolare stabile: se n, il numero dei lati della Wulff shapeWϕ, è un multiplo di 6 allora il flusso è globale e converge a un flusso omotetico per t →+∞. L’analisi del comportamento del flusso per tempi grandi richiede lo studio della stabilità. La stabilità è l’ingrediente che assicura che nessun segmento si sviluppa dalla giunzione tripla durante il flusso. In generale, il flusso può diventare instabile in un tempo finito: se ciò accade e tutte le lunghezze dei segmenti finiti sono strettamente positive per tale tempo,è possibile costruire un flusso regolare per tempi successivi aggiungendo in corrispondenza della giunzione tripla in una delle tre interfacce un segmento infinitesimo opportuno (o addirittura un arco di curva a curvatura cristallina nulla). ´E anche possibile che durante il flusso uno dei tre segmenti scompaia in un tempo finito. In tal caso, in tale tempo il campo vettoriale di Cahn-Hoffman ha un salto di discontinuità e ai tempi successivi la giunzione tripla si muove traslando lungo la semiretta adiacente. Ognuno di questi flussi ha la proprietà che tutte le curvature cristalline rimangono limitate (persino se un segmento appare o scompare). ´E importante sottolineare che Taylor aveva già predetto la nascita di nuovi segmenti dalla giunzione tripla (senza però dimostrarlo). Viene inoltre considerato il flusso per curvatura cristalina di una partizione regolare stabile formata da due triodi elementari adiacenti. Vengono discussi alcuni esempi di situazioni di colasso che portano a cambi di topologia, come ad esempio la collisione di due giunzioni triple. Questi esempi (come anche il risultato di esistenza per tempi piccoli) mostrano uno dei vantaggi del flusso per curvatura cristallino rispetto, ad esempio, all’usuale moto per curvatura: calcoli espliciti possono essere fatti, e nel caso di non unicità, è possibile confrontare le energie delle diverse evoluzioni (difficile nel caso euclideo). Nel Capitolo 2 viene introdotta, usando la teoria delle funzioni a variazione limitata a valori in S1, la sfera diR2, una nuova classe di funzionali energia definiti su partizioni. Attraverso la variazione prima del funzionale energia, viene fornito un nuovo modello per l’evoluzione di interfacce che parzialmente estende quello introdotto nel Capitolo 1 e che consiste in un problema di frontiera libera definito sulle funzioni a variazione limitata a valori in S1. Questo modello è legato all’evoluzione di materiali policristallini dove è consentito alla Wulff shape di ruotare. Assumendo l’esitenza locale del flusso, si dimostra che durante il flusso curve chiuse convesse rimangono convesse e curve chiuse embedded rimangono embedded. Il secondo argomento della tesi è trattato nel Capitolo 3: l’obiettivo è quello di estendere il metodo delle linee di livello a sistemi di equazioni differenziali alle derivate parziali. Il metodo che viene proposto è consistente con la precedente ricerca portata avanti da Evans per l’equazione del calore e da Giga e Sato per equazioni di Hamilton-Jacobi. Il nostro approccio segue una costruzione geometrica che è legate alla nozione di barriera introdotta da De Giorgi. L’idea principale è quella di forzare un principio di confronto tra varietà di diversa codimensione e richiedere che ogni sottolivello di una soluzione dell’equazione per le linee di livello, detta level set equation, sia una barriera per i grafici di soluzioni del corrispondente sistema. Tale metodo ben si applica a una classe di sistemi di equazioni quasi-lineari del primo ordine. Viene fornita la level set equation associata ad opportuni sitemi di leggi di conservazione del primo ordine, al flusso per curvatura media di una varietà di codimensione arbitraria e a sitemi di equazioni di reazione-diffusione. Infine, viene calcolata la level set equation associata al sistema soddisfatto dalle parametrizzazioni di curve piane che si muovono per curvatura.