The value function is a focal point in optimal control theory. It is a known fact that the value function can be nonsmooth even with very smooth data. So, nonsmooth analysis is a useful tool to study its regularity. Semiconcavity is a regularity property, with some fine connection with nonsmooth analysis. Under appropriate assumptions, the value function is locally semiconcave. This property is connected with the interior sphere property of its level sets and their perimeters. In this thesis we introduce basic concepts of nonsmooth analysis and their connections with semiconcave functions, and sets of finite perimeter. We describe control systems, and we introduce the basic properties of the minimum time function T(x) and of the value function V (x). Then, using maximum principle, we extend some known results of interior sphere property for the attainable setsA(t), to the nonautonomous case and to systems with nonconstant running cost L. This property allow us to obtain some fine perimeter estimates for some class of control systems. Finally these regularity properties of the attainable sets can be extended to the level sets of the value function, and, with some controllability assumption, we also obtain a local semiconcavity for V (x). Moreoverwestudycontrolsystemswithstateconstraints. Inconstrained systems we loose many of regularity properties related to the value function. In fact, when a trajectory of control system touches the boundary of the constraint set Ω, some singularity effect occurs. This effect is clear even in the statement of the maximum principle. Indeed, due to the times in which a trajectory stays on ∂Ω, a measure boundary term (possibly, discontinuous) appears. So, we have no more semiconcavity for the value function, even for very simple control systems. But we recover Lipschitz continuity for the minimum time and we rewrite the constrained maximum principle with an explicit boundary term. We also obtain a kind of interior sphere property, and perimeter estimates for the attainable sets for some class of control systems.

La funzione valore è un nodo centrale del controllo ottimo. `E noto che la funzione valore può essere irregolare anche per sistemi molto regolari. Pertanto l’analisi non liscia diviene un importante strumento per studiarne le proprietà, anche grazie alle numerose connessioni con la semiconcavità. Sotto opportune ipotesi, la funzione valore è localmente semiconcava. Questa proprietà è connessa anche con la proprietà di sfera interna dei suoi insiemi di livello e dei loro perimetri. In questa tesi introduciamo l’analisi non-liscia e le sue connessioni con funzioni semiconcave ed insiemi di perimetro finito. Descriviamo i sistemi di controllo ed introduciamo le proprietà basilari della funzione tempo minimo T(x) e della funzione valore V (x). Usando il principio del massimo, estendiamo alcuni risultati noti di sfera interna per gli insiemi raggiungibili A(T), al caso non-autonomo ed ai sistemi con costo corrente non costante. Questa proprietà ci permette di ottenere delle stime sui perimetri per alcuni sistemi di controllo. Infine queste proprietà degli insiemi raggiungibili possono essere estese agli insiemi di livello della funzione valore, e, sotto alcune ipotesi di controllabilità otteniamo anche semiconcavità locale per V (x). Inoltre studiamo anche sistemi di controllo vincolati. Nei sistemi vincolati la funzione valore perde regolarità. Infatti, quando una traiettoria tocca il bordo del vincolo Ω, si presentano delle singolarità. Questi effetti sono evidenziati anche dal principio del massimo, che produce un termine aggiuntivo di misura(eventualmente discontinuo), quando una traiettoria tocca il bordo ∂Ω. E la funzione valore perde la semiconcavità, anche per sistemi particolarmente semplici. Ma siamo in grado di recuperare lipschitzianità per il tempo minimo, ed enunciare il principio del massimo esplicitando il termine di bordo. In questo modo otteniamo delle particolari proprietà di sfera interna, e quindi anche stime sui perimetri, per gli insiemi raggiungibili.

(2007). Metric, geometric and measure theoretic properties of nonsmooth value functions.

Metric, geometric and measure theoretic properties of nonsmooth value functions

CASTELPIETRA, MARCO
2007-02-28

Abstract

The value function is a focal point in optimal control theory. It is a known fact that the value function can be nonsmooth even with very smooth data. So, nonsmooth analysis is a useful tool to study its regularity. Semiconcavity is a regularity property, with some fine connection with nonsmooth analysis. Under appropriate assumptions, the value function is locally semiconcave. This property is connected with the interior sphere property of its level sets and their perimeters. In this thesis we introduce basic concepts of nonsmooth analysis and their connections with semiconcave functions, and sets of finite perimeter. We describe control systems, and we introduce the basic properties of the minimum time function T(x) and of the value function V (x). Then, using maximum principle, we extend some known results of interior sphere property for the attainable setsA(t), to the nonautonomous case and to systems with nonconstant running cost L. This property allow us to obtain some fine perimeter estimates for some class of control systems. Finally these regularity properties of the attainable sets can be extended to the level sets of the value function, and, with some controllability assumption, we also obtain a local semiconcavity for V (x). Moreoverwestudycontrolsystemswithstateconstraints. Inconstrained systems we loose many of regularity properties related to the value function. In fact, when a trajectory of control system touches the boundary of the constraint set Ω, some singularity effect occurs. This effect is clear even in the statement of the maximum principle. Indeed, due to the times in which a trajectory stays on ∂Ω, a measure boundary term (possibly, discontinuous) appears. So, we have no more semiconcavity for the value function, even for very simple control systems. But we recover Lipschitz continuity for the minimum time and we rewrite the constrained maximum principle with an explicit boundary term. We also obtain a kind of interior sphere property, and perimeter estimates for the attainable sets for some class of control systems.
28-feb-2007
2006/2007
Matematica
19.
La funzione valore è un nodo centrale del controllo ottimo. `E noto che la funzione valore può essere irregolare anche per sistemi molto regolari. Pertanto l’analisi non liscia diviene un importante strumento per studiarne le proprietà, anche grazie alle numerose connessioni con la semiconcavità. Sotto opportune ipotesi, la funzione valore è localmente semiconcava. Questa proprietà è connessa anche con la proprietà di sfera interna dei suoi insiemi di livello e dei loro perimetri. In questa tesi introduciamo l’analisi non-liscia e le sue connessioni con funzioni semiconcave ed insiemi di perimetro finito. Descriviamo i sistemi di controllo ed introduciamo le proprietà basilari della funzione tempo minimo T(x) e della funzione valore V (x). Usando il principio del massimo, estendiamo alcuni risultati noti di sfera interna per gli insiemi raggiungibili A(T), al caso non-autonomo ed ai sistemi con costo corrente non costante. Questa proprietà ci permette di ottenere delle stime sui perimetri per alcuni sistemi di controllo. Infine queste proprietà degli insiemi raggiungibili possono essere estese agli insiemi di livello della funzione valore, e, sotto alcune ipotesi di controllabilità otteniamo anche semiconcavità locale per V (x). Inoltre studiamo anche sistemi di controllo vincolati. Nei sistemi vincolati la funzione valore perde regolarità. Infatti, quando una traiettoria tocca il bordo del vincolo Ω, si presentano delle singolarità. Questi effetti sono evidenziati anche dal principio del massimo, che produce un termine aggiuntivo di misura(eventualmente discontinuo), quando una traiettoria tocca il bordo ∂Ω. E la funzione valore perde la semiconcavità, anche per sistemi particolarmente semplici. Ma siamo in grado di recuperare lipschitzianità per il tempo minimo, ed enunciare il principio del massimo esplicitando il termine di bordo. In questo modo otteniamo delle particolari proprietà di sfera interna, e quindi anche stime sui perimetri, per gli insiemi raggiungibili.
control theory; semiconcavity; sets of finite perimeter;iInterior sphere property; value function; attainable sets; maximum principle; nonsmooth analysis
teoria del controllo; semiconcavità; Insiemi di perimetro finito; proprietà di sfera interna; funzione valore; insiemi raggiungibili; principio del massimo; analisi non-liscia
Settore MAT/03 - GEOMETRIA
Settore MAT/05 - ANALISI MATEMATICA
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Tesi di dottorato
(2007). Metric, geometric and measure theoretic properties of nonsmooth value functions.
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