Unitari moltiplicativi commutativi: un approccio alternativo

Sia H uno spazio di Hilbert. Un operatore unitario W appartenente a B(H⨂ H) è detto moltiplicativo se verifica la c.d. relazione pentagonale: W12W13W23 = W23W12. Inoltre si dice che è anche commutativo se soddisfa l’equazione: W13W23 = W23W13. Nella presente tesi di Dottorato si fornisce una dimostrazione alternativa al teorema di Baaj-Skandalis’s theorem secondo cui ogni unitario commutativo moltiplicativo è equivalente, a meno di una tensorizzazione con un opportuno spazio di Hilbert, all'unitario moltiplicativo commutativo VG indotto da un gruppo localmente compatto G costruito in modo opportuno a partire da W. In particolare VG agisce sullo spazio di Hilbert L2(G, dt) rispetto alla misura di Haar ed è definito da: (VGξ)(s,t) = ξ(st, t) ∀ ξ ϵ L2(G×G, dt×dt) e ∀ s, t ϵ G. Nello specifico si dimostra che lo spettro di Gel’fand G della C*-algebra C*(W), generata dall’unitario moltiplicativo W, è un gruppo localmente compatto, utilizzando strumenti propri della teoria generale delle algebre degli operatori. È stata data una caratterizzazione dell'algebra di von Neumann ℒ(W) generata dall’unitario moltiplicativo commutativo W ed è stata data una dimostrazione che l’algebra di von Neumann ℒ(W)', commutante di ℒ(W), è omogenea di tipo In. Particolare attenzione è stata data anche all’algebra di von Neumann duale di ℒ(W) denotata con ℒ ^(W) (in generale non commutativa) ed è stato provato che tale algebra è generata da quella che si dimostrerà essere la rappresentazione unitaria regolare destra indotta dall’unitario moltiplicativo.