Expected shortfall estimators and their use in asset allocation

The Expected Shortfall (ES) is a risk measure that averages out all losses more severe than the Value at Risk (VaR). As the ES shares the properties of coherent risk measures, its use as risk constraint in asset allocation has became relevant. First of all, we propose estimators for ES, considering the important case when additional information as some set of regressors is available. The estimators are based on the equivalent representation of ES in terms of the conditional distribution function and the conditional quantile function. Within the estimation framework, departing from a generalized weighted representation of ES, we work on improving the statistical and forecasting properties of the weighted estimators. In the first case, we derive the weighting that minimizes the asymptotic variance of the estimators, while, in the second case, the weighting minimizes some suitably defined forecast error. Nevertheless we are concerned with the use of these estimators in financial applications and construct a simple asset allocation model that maximizes expected return with a loss constraint on ES.

La perdita attesa (Expected Shortfall - ES) è una misura di rischio che prende in considerazione le perdite maggiori del Valore al Rischio (Value at Risk - VaR). Siccome l’ES ha le proprietà di una misura di rischio coerente, il suo uso nell’allocazione del portafoglio è diventato rilevante. Nella prima sezione, proponiamo dei stimatori per ES, considerando il caso quando abbiamo a disposizione informazioni aggiuntive compresse in un set di variabile esogene. I stimatori sono costruiti partendo dalla rappresentazione equivalente del ES in termini di funzione di distribuzione e funzione quantilica. Nelle sezioni successive, partendo dalla rappresentazione del ES generalizzata tramite una funzione di pesi, il lavoro prosegue con il miglioramento delle proprietà statistiche e di predizione. Nel primo caso, ottimizziamo la funzione di pesi tale da minimizzare la varianza asintotica, mentre, nel secondo caso, la funzione di pesi minimizza l’errore di predizione dello stimatore. Inoltre, pensando al uso dei stimatori nelle applicazioni finanziarie, costruiamo un modello base di allocazione di portafoglio che massimizza il rendimento atteso con un vincolo sul ES.