We first develop a unifying Malliavin calculus in a jump-diffusion context, by taking into account all the randomness involved (Brownian motion, jump times and jump amplitudes) and by stating an integration by parts formula which gives the starting point of our work. The results are then applied to study representation formulas both for sensitivities (delta) and conditional expectations (in terms of non conditional Z_t=(X_t,Y_t), in which X stands for a jump diffusion and Y_t=\int_0^t X_r dr. Therefore, the link with problems arising from Finance (price/delta of Asian options) is studied. Several examples are analyzed in details and equipped with numerical studies.

In primo luogo è sviluppato un calcolo di Malliavin unificato in un contesto di tipo jump-diffusion, considerando tutti i rumori stocastici (moto Browniano, tempi e ampiezze dei salti) e ottenendo una formula di integrazione per parti che è il punto di inizio del lavoro. I risultati sono applicati per studiare formule di rappresentazione sia per le sensitività (delta) sia per la media condizionale (in termini di una non condizionale) per un processo bidimensionale Z_t=(X_t,Y_t)$, in cui X è un processo jump diffusion e Y_t=\int_0^t X_r dr. Infine, sono studiati dei problemi legati alla Finanza (price/delta di opzioni Asiatiche). Diversi esempi sono analizzati in dettaglio con applicazioni numeriche.

Marchisio, V. (2009). Malliavin representation formulas for Asian options in a jump-diffusion model.

Malliavin representation formulas for Asian options in a jump-diffusion model

MARCHISIO, VALERIO
2009-08-06

Abstract

In primo luogo è sviluppato un calcolo di Malliavin unificato in un contesto di tipo jump-diffusion, considerando tutti i rumori stocastici (moto Browniano, tempi e ampiezze dei salti) e ottenendo una formula di integrazione per parti che è il punto di inizio del lavoro. I risultati sono applicati per studiare formule di rappresentazione sia per le sensitività (delta) sia per la media condizionale (in termini di una non condizionale) per un processo bidimensionale Z_t=(X_t,Y_t)$, in cui X è un processo jump diffusion e Y_t=\int_0^t X_r dr. Infine, sono studiati dei problemi legati alla Finanza (price/delta di opzioni Asiatiche). Diversi esempi sono analizzati in dettaglio con applicazioni numeriche.
A.A. 2007/2008
Matematica
20.
We first develop a unifying Malliavin calculus in a jump-diffusion context, by taking into account all the randomness involved (Brownian motion, jump times and jump amplitudes) and by stating an integration by parts formula which gives the starting point of our work. The results are then applied to study representation formulas both for sensitivities (delta) and conditional expectations (in terms of non conditional Z_t=(X_t,Y_t), in which X stands for a jump diffusion and Y_t=\int_0^t X_r dr. Therefore, the link with problems arising from Finance (price/delta of Asian options) is studied. Several examples are analyzed in details and equipped with numerical studies.
Malliavin calculus; Asian options; Monte Carlo methods
Settore MAT/06 - Probabilita' e Statistica Matematica
English
Tesi di dottorato
Marchisio, V. (2009). Malliavin representation formulas for Asian options in a jump-diffusion model.
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