Criteri di stabilità materiale in solidi con legame costitutivo incrementale

Oggetto del presente lavoro di tesi, è il problema della stabilità del materiale e delle sue relazioni con i fenomeni d’instabilità e biforcazione dell’equilibrio. La tesi è divisa in 7 capitoli. Nel Cap. 1 vengono brevemente richiamati alcuni concetti fondamentali della meccanica del continuo utili per lo sviluppo del lavoro. Particolare rilievo è dato alla nozione di misure di tensione e deformazione lavoro-coniugate. Il Cap. 2 contiene, invece, alcuni elementi della teoria del problema di equilibrio incrementale per un corpo continuo soggetto a forze di tipo "morto" applicate in maniera quasi-statica. L’attenzione è principalmente rivolta ai problemi di unicità della soluzione incrementale e di stabilità della soluzione di equilibrio, e si considerano materiali con legge costitutiva incrementale positivamente omogenea di grado uno. In particolare, vengono considerati materiali elasto-plastici con risposta lineare a tratti e legge di flusso plastico associata e non associata. Il capitolo contiene una breve descrizione dei legami costitutivi incrementali utilizzati nei successivi sviluppi e delle leggi che regolano la trasformazione dei moduli costitutivi tra diverse coppie coniugate tensione-deformazione. Inoltre, sono esaminati sia modi di biforcazione diffusi sia localizzati corrispondenti alla formazione di bande di taglio, che sono possibili a partire da stati di deformazione omogenea. Nel Cap. 3 viene riportata in dettaglio la formulazione del criterio statico di stabilità materiale e ne sono riportate motivazioni e caratterizzazioni. La stabilità del materiale viene analizzata esaminando una configurazione di equilibrio di un elemento di materiale omogeneamente deformato e soggetto a forze superficiali posizionali corrispondenti allo stato tensionale uniforme presente nell’elemento, opportunamente definite. Inoltre, si analizza il confronto con altre possibili formulazioni in ambito statico. Le condizioni di stabilità materiale di tipo statico sono analizzate con riferimento a materiali comprimibili ed incomprimibili. Adottato un criterio di stabilità del materiale si esamina l’influenza del comportamento intrinseco del materiale sulla stabilità di una configurazione di equilibrio. Il problema di un corpo omogeneo deformato omogeneamente e con condizioni al contorno di sole forze, viene studiato con particolare dettaglio. L’indagine degli effetti della condizione di stabilità materiale sui fenomeni di instabilità e biforcazione è quindi estesa a problemi non omogenei attraverso alcuni esempi. Nel Cap. 4 si esaminano le conseguenze dell’imposizione della condizione di stabilità materiale sulla biforcazione e la stabilità in solidi di forma rettangolare di materiale incrementale lineare. Tali risultati vengono illustrati attraverso il classico esempio considerato da Hill e Hutchinson (1975). Sono analizzate le restrizioni che la condizione di stabilità materiale impone sui possibili regimi dei moduli istantanei per i quali le equazioni di equilibrio incrementali sono di tipo ellittico, parabolico o iperbolico. Queste sono confrontate con le restrizioni imposte da Hill e Hutchinson (1975). Sono infine riportati alcuni risultati ottenuti specializzando la legge costitutiva ortotropa proposta da Hill e Hutchinson (1975) a particolari materiali iperelastici isotropi. Gli effetti delle limitazioni derivanti dalla condizione di stabilità materiale sono studiati con riferimento a modi di biforcazione diffusi ed a modi di biforcazione del tipo “shear bands”. Il Cap. 5 riporta le relazioni tra stabilità infinitesima della configurazione di equilibrio, stabilità materiale ed unicità. L’analisi è ristretta a problemi di tipo omogeneo caratterizzati, cioè, da percorsi di deformazione omogenea e condizioni di carico di sole forze morte su tutto il contorno del corpo. Al fine di indagare gli effetti della condizione di stabilità materiale sulla condizione di stabilità e di unicità, si prendono in considerazione alcune classi di problemi per corpi soggetti a carichi di trazione per i quali l’influenza della condizione di stabilità materiale è particolarmente evidente. Si considera, ad esempio, un corpo generico di materiale incrementalmente lineare o non lineare, soggetto ad uno stato di tensione idrostatica uniforme di tipo morto. Un secondo esempio riguarda i materiali incrementalmente lineari caratterizzati da un tensore costitutivo tangente simmetrico e da una simmetria ortotropa dei moduli tangenti rispetto agli assi principali di tensione. Lo studio procede con altri esempi di analisi di stabilità e biforcazione dell’equilibrio per alcuni materiali iperelastici, isotropi ed incompressibili proposti in letteratura. Si passa, nel Cap. 6, a prendere in esame i diversi criteri di stabilità materiale proposti in letteratura allo scopo di evidenziare quali sono i fattori che regolano il passaggio tra le varie condizioni di stabilità materiale e di mostrare quale tra i criteri formulati sia il più adatto a descrivere il comportamento intrinseco del materiale. In particolare, si esaminano il criterio dinamico, basato sulla velocità di propagazione di onde piane infinitesime o di onde di accelerazione, ed il criterio basato sulla localizzazione della deformazione con modi a bande di taglio. Si analizza, inoltre, la definizione di stabilità materiale proposta da Hill (1962) basata sulla condizione di stabilità di un corpo omogeneamente deformato e rigidamente vincolato sul contorno. Sono stabilite, quindi, le connessioni tra i diversi criteri partendo da un semplice esempio monodimensionale per analizzare poi il caso generale tridimensionale. Per concludere, sono riportate delle applicazioni a corpi soggetti a stati di tensione idrostatica morta ed a materiali iperelastici in deformazione omogenea. In queste applicazioni sono analizzate le relazioni tra condizioni di stabilità strutturale, stabilità materiale statica e dinamica ed unicità. L’ultimo capitolo, il Cap. 7, contiene i commenti conclusivi e sintetizza i principali risultati ottenuti nel presente lavoro di tesi.