Enumerazioni in sistemi di Coxeter tramite riflessioni associate

Dato un generico sistema di Coxeter nito (W; S), uno dei più celebri ed importanti problemi enumerativi e combinatorici, si vedano e.g. [15, 25, 28, 53, 60, 72] e le referenze ivi incluse, e studiare il suo polinomio di Poincar e W (X), ed il suo polinomio Euleriano A(X), prestando particolare cura ed attenzione al caso W = Sn, il gruppo simmetrico delle permutazioni di n oggetti, cfr. [21, 23, 26, 29, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 47, 54, 55, 58, 64, 66, 67, 68, 73] e le referenze ivi citate, nonché [8, 9, 20, 36, 37, 38, 49] per risultati combinatorici simili. Nel primo capitolo della Tesi viene data una trattazione completa ed esauriente della teoria generale dei sistemi di Coxeter, includendo le dimostrazioni di tutti i risultati utilizzati, e nei successivi vengono esposti i risultati originali della ricerca. Nel secondo capitolo viene generalizzato il concetto di polinomio Euleriano An (X) per il gruppo simmetrico Sn, per ogni n 2. Osservando che An (X) è strettamente associato all'insieme generatore di Sn, come gruppo, che è un sottoinsieme molto speciale dell'insieme delle trasposizioni Tn = f(i; j) : 1 i < j ng di Sn, si considera ogni generico sottoinsieme T di Tn, e per ognuno viene definito un polinomio (n) T (X), che è un analogo di An (X), nel seguente modo: (n) T (X) = X 2Sn XlT ( ) = #T Xj=0 F(n) T (j)Xj ; dove lT ( ) = #f 2 T : inv ( ) < inv ( )g e il numero di inversioni di contenuto in T e F(n) T (j) = #f 2 Sn : lT ( ) = jg. Ad esempio, con queste notazioni il polinomio di MacMahon (i.e. il polinomio di Poincar e di Sn) diviene (n) Tn (X), pertanto viene ottenuta una costruzione uni cata per le funzioni generatrici di molte nuove statistiche sul gruppo simmetrico Sn. Dati n 2 e T Tn, e possibile associare un ordine parziale T (i.e. indicizzato dal sottoinsieme T ) sull'insieme [n] = ft 2 N : 1 t ng = f1; : : : ; ng, cosicché il termine noto del polinomio corrispondente (n) T (X) enumera le estensioni lineari parziali dell'insieme parzialmente ordinato ([n] ; T ). Più generalmente, se è una permutazione tale che lT ( ) = j, cio e e contata dal j{esimo coefficiente di (n)T (X), allora j è una misura di \quanto lontana" e dall'essere un'estensione lineare di ([n] ; T ). Inoltre ogni relazione d'ordine parziale su [n] può essere ottenuta come T per qualche T Tn. Viene mostrato che per ogni n 2 ed ogni T Tn, (n) T (X) e sempre simmetrico, i.e. (n) T (X) = X#T (n) T